Fijate ahora que tenemos términos que son muy parecidos a los de la sucesión anterior, o sea que algún $\frac{1}{n}$ va a tener que haber por ahí, pero la diferencia clave es que va alternando el signo. Necesitamos que los términos tengan signo positivo si $n$ es impar y signo negativo si $n$ es par. Eso lo podemos lograr agregando el término $(-1)^{n+1}$. Fijate que esto vale $1$ si $n$ es par y $-1$ si $n$ es impar, nos viene perfecto. Entonces:

$a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ Veamos si es convergente o no, tomamos límite cuando $n$ tiende a infinito: $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 0$ Veamos que el denominador $n$ se va a infinito, mientras que el numerador alterna entre $1$ y $-1$ (números!), por lo tanto esto se va a estar yendo a $0$. Decimos entonces que la sucesión es convergente.